根號(hào)2的數(shù)值

根號(hào)2約等于1.4142135623731。這一結(jié)果是通過(guò)多種方法得出的：

• 二分法逼近：
  • 因?yàn)楦?hào)2是方程$x^{2}=2$的解，且根號(hào)2介于1與2之間。先計(jì)算1.5的平方為2.25大于2，所以根號(hào)2在1到1.5之間；再計(jì)算1.4的平方為1.96小于2，那么根號(hào)2在1.4到1.5之間。如此反復(fù)，不斷取兩個(gè)數(shù)的中間值并比較其平方與2的大小關(guān)系，就可以逐步逼近根號(hào)2的準(zhǔn)確值，得到近似結(jié)果1.4142135623731等。這種方法是一種數(shù)值計(jì)算中的迭代逼近過(guò)程，通過(guò)不斷縮小范圍來(lái)求得近似解。
• 從幾何角度看：
  • 在等腰直角三角形中，直角邊為1，根據(jù)勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（這里$a = b = 1$），那么斜邊$c=\sqrt{2}$。如果我們測(cè)量這個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，以數(shù)值形式表示出來(lái)也是約等于1.414。
• 根號(hào)2的性質(zhì)：
  • 根號(hào)2是一個(gè)無(wú)理數(shù)，這意味著它不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比，其小數(shù)部分是無(wú)限不循環(huán)的。從理論上證明其為無(wú)理數(shù)可以用反證法，假設(shè)$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$（$p,q$為互質(zhì)整數(shù)），那么$p^{2}=2q^{2}$，由此可推出$p$是偶數(shù)，設(shè)$p = 2m$，代入可得$q^{2}=2m^{2}$，從而$q$也是偶數(shù)，這與$p,q$互質(zhì)矛盾，所以$\sqrt{2}$是無(wú)理數(shù)，其數(shù)值只能以近似的形式表示。