一、求極限的方法

• 利用函數性質與運算法則
  • 直接代入法：若所需求得的函數極限是趨于一個實數，并且將極限值代入函數后函數仍有意義（要求函數在極限處連續），則可直接將極限代入計算，例如求函數在某點極限，若該點函數值存在，極限就是該函數值。
  • 極限的四則運算法則：當函數為若干個簡單函數的相加、相減、相乘或相除（除數極限不為0）時，可以利用此法則將函數拆分，再分別計算函數極限，但使用時需保證極限存在。
• 特殊方法
  • 數學歸納法與不等式放縮法（針對數列）：用數學歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性，確定極限存在性；再通過遞推關系取極限，解方程得到數列極限值。
  • 函數極限與數列極限關系法：若數列極限能看成某函數極限的特例，利用兩者關系轉化為求函數極限，之后可用洛必達法則求解（滿足洛必達法則使用條件時）。
  • 冪級數函數法：若可以找到級數所對應的冪級數，求出冪級數的和函數，再根據極限形式代入相應變量求出函數值。
  • 定積分定義法：數列每一項都可提出一個因子，剩余項可用一個通項表示時，可以考慮用定積分定義求解數列極限。
  • 夾逼定理：數列每一項可提出一個因子，剩余項不能用一個通項表示，但其余項按遞增或遞減排列，可考慮此定理求解；對于函數極限，若滿足夾逼準則的條件也可使用。
  • 取對數法：求n項數列的積的極限，一般先取對數化為項和的形式，再利用求解項和數列極限的方法計算。
  • 等價無窮小代換法：當兩個函數滿足一定極限條件時為等價無窮小，在求極限時可進行代換簡化計算，如當x→0時，sinx～x等。
  • 利用兩個重要極限：即$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$和$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$，對所給函數或數列作適當變形，使之具有相應形式來求極限，有時可通過變量替換簡化問題。
  • 洛必達法則：當x→a（或x→∞）時，兩個函數f(x)與g(x)都趨于零或趨于無窮小（為$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式），可考慮使用該法則求極限，但它不能解決所有極限問題。
  • 泰勒公式法：在已知函數在某一點的各階導數值的情況下，用這些導數值做系數構建多項式來近似函數在這一點鄰域中的值，從而求得函數極限值。