向量的數量積何時為正，何時為負

向量的數量積（也稱為點積）是一個標量，其值取決于兩個向量的夾角。具體來說，向量的數量積的正負性由兩個向量之間的夾角決定。以下是詳細的解釋：

1. 向量的數量積為正

• 夾角小于90度：當兩個向量的夾角 $\theta$ 小于90度時，即 $0^\circ \leq \theta < 90^\circ$，向量的數量積為正。這是因為此時夾角的余弦值 $\cos(\theta)$ 是正數。
  • 數學表達式：$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta) > 0$
  • 例子：如果兩個向量的方向大致相同，它們的夾角接近0度，數量積為正。

2. 向量的數量積為負

• 夾角大于90度：當兩個向量的夾角 $\theta$ 大于90度時，即 $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$，向量的數量積為負。這是因為此時夾角的余弦值 $\cos(\theta)$ 是負數。
  • 數學表達式：$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta) < 0$
  • 例子：如果兩個向量的方向大致相反，它們的夾角接近180度，數量積為負。

3. 向量的數量積為零

• 夾角等于90度：當兩個向量的夾角 $\theta$ 等于90度時，即 $\theta = 90^\circ$，向量的數量積為零。這是因為此時夾角的余弦值 $\cos(\theta)$ 為零。
  • 數學表達式：$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(90^\circ) = 0$
  • 例子：如果兩個向量互相垂直，它們的數量積為零。

總結

• 正數：當兩個向量的夾角小于90度時，數量積為正。
• 負數：當兩個向量的夾角大于90度時，數量積為負。
• 零：當兩個向量的夾角等于90度時，數量積為零。

這些結論基于向量數量積的定義和夾角的余弦值的性質。理解這些規律有助于在幾何和物理問題中正確應用向量的數量積。