一、可導的定義

根據(jù)導數(shù)的定義，函數(shù)在某點可導意味著極限 $\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ 存在。當從左側(cè)趨近于該點（$h \to 0^{-}$）時，這個極限就是左導數(shù) $f'_{-}(x)$；當從右側(cè)趨近于該點（$h \to 0^{+}$）時，這個極限就是右導數(shù) $f'_{+}(x)$。只有當左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等時，才能說這個極限存在，也就是函數(shù)在該點可導，這是可導的充分必要條件 。

二、與連續(xù)的關(guān)系

1. 可導必連續(xù)
   • 若函數(shù)在某點可導，根據(jù)導數(shù)定義的推導過程可以證明該函數(shù)在這點必然連續(xù)。因為可導要求極限 $\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ 存在，這意味著函數(shù)在該點附近的變化是“平滑”的，從而保證了函數(shù)在該點的連續(xù)性。
2. 左、右導數(shù)與左、右連續(xù)
   • 左導數(shù)存在意味著函數(shù)在該點左連續(xù)，右導數(shù)存在意味著函數(shù)在該點右連續(xù)。如果左導數(shù)和右導數(shù)存在且相等，那么函數(shù)在該點就是連續(xù)的，并且是可導的。如果僅僅說左右極限存在且相等，這只是函數(shù)在該點連續(xù)的條件，而不是可導的條件，可導要求的是函數(shù)變化率的極限存在，也就是左導數(shù)和右導數(shù)存在且相等 。

三、導數(shù)存在的判斷

1. 函數(shù)在某點的情況
   • 僅僅左右極限存在且相等不能證明函數(shù)在該點可導。例如，存在一些函數(shù)在某點左右極限相等（函數(shù)連續(xù)），但在該點的切線斜率不存在或者左右切線斜率不相等，那么函數(shù)在該點不可導。只有左導數(shù)和右導數(shù)存在且相等，才滿足導數(shù)存在（可導）的條件，這是由導數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)的變化率所決定的 。