函數過定點的理解

• 定義角度
  • 在數學中，函數過定點是指函數圖像經過一個特定的、坐標已知的點。這個點在函數的定義域和值域內。例如有函數$f(x)$，若知道它經過點$(a,b)$，那就意味著當$x = a$時，$f(a)=b$，$(a,b)$就是函數圖像上的一個定點$1$。
• 不同函數類型中的體現
  • 一次函數：對于一次函數$y = kx + b(k\neq0)$，當$x = 0$時，$y=b$，所以無論$k$如何取值，其圖像總經過定點$(0,b)$。
  • 二次函數：像$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，當$c$確定時，不管$a$和$b$取何值，圖像總經過定點$(0,c)$。例如$y = ax^{2}-2ax + 1=a(x(x - 2))+1$，當$x = 0$或者$x = 2$時，函數值$y = 1$，所以該二次函數圖像必經過點$(0,1)$和$(2,1)$，這里的定點與參數$a$的取值無關$2$。
  • 對數函數：如$y = k\ln x(k為常數)$，無論$k$如何取值，函數圖像恒過定點$(1,0)$。
• 在解題中的作用
  • 確定函數表達式。若知道線性函數$y = mx + b$過定點$(x_{1},y_{1})$，將坐標代入表達式得到$y_{1}=mx_{1}+b$，從而解出斜率$m$或截距$b$來確定整個函數表達式。在復雜函數如二次函數、指數函數、對數函數等中，過定點的信息可幫助確定函數的參數，進而確定函數的具體形式$1$。
  • 幫助理解函數圖像與表達式關系。在教學中，有助于學生理解兩者關系，以及如何利用已知定點信息求解函數未知參數。