等比數列公式有哪些

等比數列的基本概念

等比數列是一種特殊的數列，它的特點是任意相鄰兩項的比值都是相同的，這個比值被稱為公比（通常用字母 $q$ 表示）。例如，數列 $2, 4, 8, 16, \ldots$ 就是一個等比數列，其公比為 $2$。

等比數列的定義

一個數列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數 $q$（( q
eq 0 )），這個數列叫等比數列。

等比數列的通項公式

等比數列的第 $n$ 項 $a_n$ 可以用首項 $a_1$ 和公比 $q$ 來表示： $a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$

等比數列的特殊性質

• 如果 $m + n = p + q$，則 $a_m \times a_n = a_p \times a_q$。
• 在等比數列中，依次每 $k$ 項之和仍成等比數列。
• 若 $m + n = 2q$，則 $a_m \times a_n = (a_q)^2$。
• 若 $G$ 是 $a$ 和 $b$ 的等比中項，則 $G^2 = ab$（( G
  eq 0 )）。

等比數列的求和公式

等比數列的求和公式用于計算數列的前 $n$ 項和 $S_n$。

基本求和公式

• 當 $q = 1$ 時，數列的所有項都相等，因此前 $n$ 項和 $S_n = n \times a_1$。
• 當 ( q
  eq 1 ) 時，等比數列的前 $n$ 項和公式為： $S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$ 或者等價地： $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

公式推導

求和公式的推導可以通過以下步驟完成：

1. 設等比數列的前 $n$ 項和為 $S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$。
2. 將每一項乘以公比 $q$，得到 $qS_n = a_1q + a_2q + a_3q + \ldots + a_nq$。
3. 然后用 $qS_n$ 減去 $S_n$，得到： $qS_n - S_n = a_1q + a_2q + \ldots + a_nq - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ $(q - 1)S_n = a_1(q^n - 1)$
4. 最后解得： $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$

等比數列的應用實例

等比數列不僅在數學題目中廣泛出現，在實際生活中也有許多應用。例如，假設一個商場每年的銷售額增長率為 $10\%$，則可以構建一個等比數列來預測未來幾年的銷售額。

實際應用案例

某商場第一年銷售計算機 $5000$ 臺，如果平均每年的銷售量比上一年增加 $10\%$，那么從第一年起，約幾年可使總銷售量達到 $30000$ 臺？

設第 $n$ 年的銷售量為 $a_n$，則有： $a_n = 5000 \times (1 + 0.1)^{n-1}$

我們需要找到最小的 $n$，使得 $S_n \geq 30000$： $S_n = \frac{5000(1.1^n - 1)}{0.1} \geq 30000$ $50000(1.1^n - 1) \geq 300000$ $1.1^n - 1 \geq 6$ $1.1^n \geq 7$

通過計算可知，$n \approx 5.68$，因此至少需要 $6$ 年才能使總銷售量達到 $30000$ 臺。

通過以上詳細的解釋和實例，相信你對等比數列的公式及其應用有了更深入的理解。