一、利用導數定義證明

1. 首先寫出導數定義公式
   • 對于函數$y = f(x)$，其導數$f^\prime(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$。對于$y = e^x$，則$(e^x)^\prime=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{e^{x + h}-e^x}{h}$。
   • 根據指數運算法則$e^{x + h}=e^x\cdot e^h$，那么$\frac{e^{x + h}-e^x}{h}=\frac{e^x\cdot e^h - e^x}{h}=e^x\cdot\frac{e^h - 1}{h}$。
2. 然后求極限
   • 當$h\rightarrow0$時，$\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{e^h - 1}{h}=1$。
   • 所以$(e^x)^\prime=e^x\cdot1 = e^x$。

二、利用復合函數求導法則證明

1. 將$e^x$看作復合函數
   • 令$u = x$，$y = e^u$。
   • 根據復合函數求導法則$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
2. 分別求導
   • 對于$y = e^u$，$\frac{dy}{du}=e^u$；對于$u = x$，$\frac{du}{dx}=1$。
   • 所以$\frac{dy}{dx}=e^u\cdot1$，再把$u = x$代回，得到$\frac{dy}{dx}=e^x$。