證明函數為常值函數的方法

• 利用函數定義
  • 常值函數指值域為一元集的函數，即對于函數定義域中的一切$x$，都有$f(x)=a$（$a$是一個固定元素）。所以若能證明在函數的定義域內，無論自變量$x$取何值，函數值始終等于一個固定的常數$a$，就可證明該函數是常值函數。例如，對于函數$f(x)$，通過分析$x$在定義域內不同取值時函數的表達式或計算結果，若都得出$f(x)=c$（$c$為常數），則可證明它是常值函數。
• 利用導數性質（對于可微函數）
  • 如果函數$f(x)$在某區間上可微且其導數$f^\prime(x)=0$，那么$f(x)$在該區間上是常值函數。例如，已知函數$y = f(x)$，先求出其導數$f^\prime(x)$，若在某個區間內$f^\prime(x)$恒等于$0$，這意味著函數在該區間上的變化率為$0$，即函數值不隨自變量的變化而變化，所以是常值函數。
• 對于凸函數（特殊情況）
  • 當凸函數有界時為常值函數。例如在$R$上有界一元可微凸函數為常值函數。因為$R$上凸函數的導函數必然在$R$上恒大于等于$0$，利用反證法或中值定理、延森不等式等方法可證明其為常值函數。具體證明時，可根據凸函數的定義，假設存在不同的函數值，然后推出與有界等條件矛盾的結果，從而證明函數只能是常值函數。