四元數是一種用于表示三維空間中旋轉的數學工具，它由一個實部和三個虛部組成，通常表示為 ( q = a + bi + cj + dk )，其中 ( a, b, c, d ) 是實數，( i, j, k ) 是虛部，且滿足 ( i2 = j2 = k2 = ijk = -1 )。

在三維空間中，我們可以將四元數用于表示坐標，尤其是在需要表示旋轉的情況下。以下是如何將四元數與坐標系統關聯的幾種方式：

1. 旋轉表示：

當四元數的虛部為零時，即 ( q = a )，它表示一個純旋轉，其中 ( a ) 是一個單位四元數，表示三維空間中的一個旋轉軸和旋轉角度。

當四元數的實部為零時，即 ( q = bi + cj + dk )，它表示一個純平移，其中 ( (b, c, d) ) 是三維空間中的一個向量。

2. 坐標變換：

四元數可以用來表示坐標變換，包括旋轉和平移。例如，假設我們有一個點 ( P = (x, y, z) )，我們可以通過四元數 ( q = a + bi + cj + dk ) 來變換這個點。

如果 ( q ) 是一個旋轉四元數，那么點 ( P ) 在 ( q ) 作用下變換為 ( P' ) 的過程可以表示為：( P' = qPq{-1